Thèse de Doctorat :
Arithmétique des courbes elliptiques
et application des formules explicites à l'étude des
représentations automorphes

Stéfane Fermigier, Université Paris 7

Introduction

Nous présentons quatre articles issus de notre travail de thèse.

Zéros des fonctions L des courbes elliptiques :

On a étudié dans ce travail les zéros des fonctions L de 406 courbes elliptiques de Weil de conducteur premier N < 13100. Pour chaque courbe, on a calculé les zéros de partie imaginaire plus petite que 15, dont on a montré qu'ils étaient tous situés sur la droite critique Re s = 1. On a étudié la distribution de ces zéros, en particulier en fonction du conducteur de la courbe et de son rang.

Cet article a été publié dans la revue Experimental Mathematics (Vol. 1, No. 2, p 167-173, 1992), et a fait l'objet d'un exposé au congrès Computational Number Theory, à l'université de Rutgers, en avril 1991.

[Vous avez aussi accès aux résultats de cette étude.]

Un exemple de courbe elliptique sur Q de rang >=19 :

On construit dans cette note une courbe elliptique sur Q de rang au moins 19, ce qui constituait au moment de sa publication le meilleur exemple connu. La méthode utilisée consiste à partir de courbes de grand rang sur Q(t) construites par Mestre et à spécialiser t en des valeurs rationnelles. En criblant les courbes à l'aide d'une fonction heuristique, on sélectionne quelques courbes sur lesquelles on cherche systématiquement des points rationnels de petite hauteur.

Cet article a été publié au comptes rendus de l'Académie des Sciences (t. 315, série I, p. 719-722, 1992).

Annulation de la cohomologie cuspidale de sous-groupes de congruence de GLn(Z) :

On démontre ici l'annulation de la cohomologie cuspidale Hcusp(GL_n(Z), C), lorsque n>=23, et plus généralement lorsqu'on remplace GLn(Z) par un sous-groupe de congruence, avec des contraintes sur le ``niveau'' N. Ceci constitue la généralisation du fait qu'il n'existe pas de courbe elliptique modulaire de conducteur N<11. La méthode est d'ailleur une variante de celle utilisée par Mestre pour demontrer ce dernier point.

Cet article a été soumis à la revue Mathematische Annalen, et a fait l'objet d'un exposé au séminaire de théorie des nombres, à Paris, en juin 1994, ainsi qu'à celui de Besançon, en juin 1995.

Étude expérimentale du rang de familles de courbes elliptiques sur Q :

On rapporte les résultats de calculs de rangs menés sur des familles de courbes elliptiques obtenues par spécialisation entière d'une courbe de rang r sur Q(t), avec r allant de 0 à 4.

On met en évidence d'importantes similitudes entre les distributions des rangs pour différentes familles de même rang, et même pour des familles de rangs distincts.

Vous pouvez consulter les tableaux de résultats qui accompagnent cet article et aussi les graphiques.

Stéfane Fermigier. Page créée le Wed Aug 21 10:40:49 1996.